Il calcolo di un endoreattore si basa su precisi metodi scientifici, gli unici in grado di garantire risultati sicuri.
Questo articolo illustra il metodo di calcolo per determinare i parametri fisici e meccanici di un motore a propellente ibrido.

La scelta del tipo di motore.

Come abbiamo visto, i sistemi di propulsione usati per i razzi si dividono nelle seguenti classi:

• Motori a propellente solido


• Motori a propellenti liquidi


• Motori a monopropellente


• Motori a propellenti ibridi

Il propellente dei motori "solidi" contengono una formulazione che contiene il combustibile e l’ossidante intimamente miscelati.
Sono costruttivamente semplici ma potenzialmente pericolosi in quanto il propellente è altamente infiammabile e la sua preparazione richiede procedure di sicurezza, competenze ed attrezzature difficilmente disponibili agli sperimentatori dilettanti.

- Nella classe dei motori "liquidi" il combustibile e l’ossidante sono conservati in due distinti serbatoi generalmente non pressurizzati, necessitano perciò di un complesso e costoso sistema di alimentazione in grado di pompare combustibile ed ossidante nella camera di combustione, controllando e regolando alla perfezione il flusso di entrambi.
Offrono una resa molto elevata ma per la loro complessità ed alto costo sono utilizzabili solo a livello professionale.

- I sistemi di propulsione a "monopropellente" sono generalmente usati per i piccoli motori di assetto ma offrendo spinte e rese piuttosto basse sono scarsamente usati per la propulsione dei vettori.

Il loro pregio è la semplicità costruttiva, infatti per ottenere la spinta è sufficiente iniettare del perossido di idrogeno (acqua ossigenata) nella camera di combustione dotata di una griglia catalizzatrice dove il perossido viene decomposto generando un flusso di gas ad alta pressione.

- I motori "ibridi" sono una via di mezzo tra i primi due: hanno la semplicità costruttiva dei motori solidi, avendo una parte del propellente immagazzinato nella camera di combustione, l’ossidante gassoso è invece contenuto in un apposito serbatoio.

Essendo quest’ultimo già pressurizzato non è richiesto l’impiego di pompe ed altri complessi sottosistemi di alimentazione, è sufficiente realizzare un sistema di accensione e di apertura della valvola dell’ossidante.

La motorizzazione scelta per il nostro vettore è quella basata sulla tecnologia ibrida.
I motivi di tale scelta sono dovuti alla sua intrinseca affidabilità e sicurezza, inoltre non è richiesto l’impiego e la manipolazione di prodotti chimici pericolosi, infiammabili o esplosivi.

Affrontiamo perciò la fase di progettazione e dimensionamento, necessaria per ottenere i risultati desiderati.

Occorre a questo punto introdurre il concetto dell’IMPULSO SPECIFICO (ISP) di un dato propellente.

Questo parametro indica a livello teorico (e perciò puramente indicativo) l’efficienza di una determinata combinazione di ossidante e combustibile.
Il valore dell’ ISP si ricava da una serie di prove sperimentali al banco di test di una serie di motori configurati in modo diverso, al fine di ricavare dei dati che successivamente saranno integrati e correlati per ottenere un valore medio.

L’ISP è ricavato dall’ IMPULSO TOTALE erogato (misurato in Newton secondo) diviso per il peso totale del propellente (misurato in Newton) che l’ha generata, senza tener conto del peso dell’hardware del motore.

Ad esempio se un motore genera una spinta media di 100 N per un tempo di 4 secondi possiamo dedurre che offre un impulso totale di : 100 N * 4 s = 400 Ns.

Se il peso del propellente (combustibile + ossidante) che ha generato questo impulso totale è di 200 grammi, ovvero ~ 2 N, possiamo ricavare il valore dell’ISP:

400 Ns / 2 N = 200 s

Possiamo notare che la strana unità di misura dell’ISP (secondi) nasce dal fatto che la forza N (dell’impulso totale) e la forza N (del peso del propellente) si elidono, conservando solo la "s" dei secondi.

Da queste premesse possiamo comprendere che l’ISP è un valore tipico di una determinata combinazione propellente – ossidante, che indica sostanzialmente la "bontà" del propellente.

Il valore dell’ISP tipico di una combinazione ottimale di propellenti ibridi si aggira sui 210-220 secondi, ma dipende da alcuni fattori che contribuiscono a peggiorarla.

L’ossidante ideale per un motore ibrido sarebbe l’ossigeno liquido ma purtroppo il fatto che sia un liquido criogenico (cioè conservabile solo a bassissime temperature) e la necessità di un sistema di turbopompe per la pressurizzazione, lo rende poco idoneo all’impiego amatoriale.

Dobbiamo perciò accontentarci di qualcosa di più pratico ed abbordabile, come l’azoto protossido, che conservato in recipienti sotto pressione (~50 bar) rimane allo stato liquido.

L’uso di questo ossidante semplifica notevolmente l’architettura del motore in quanto non sono richiesti complessi sistemi di pressurizzazione, visto che è disponibile già immagazzinato ad una pressione accettabile per il nostro uso.

Il lato negativo è che il contenuto di ossigeno molecolare è inferiore a quello dell’ossigeno liquido e perciò la resa è inferiore.

Per il combustibile il problema è leggermente diverso in quanto sarebbe necessario un composto in grado di generare la massima quantità di gas combusti in proporzione al suo peso e per questo scopo l’ideale sarebbe l’ Hydroxyl Terminated Poly Butadiene, noto anche come HTPB, che in combinazione con l’azoto protossido potrebbe offrire un ISP medio di 200 secondi.

Si tratta di un polimero a base di butadiene, cioè una gomma, generalmente usato per l’isolamento di cavi elettrici, guarnizioni, manicotti, particolari tecnici ecc.

Per fare un esempio i motori laterali a stato solido (booster) di molti vettori professionali (compreso lo shuttle) sono basati sul propellente composto da HTPB, potassio perclorato, alluminio ed altre sostanze.

Purtroppo la disponibilità di questo polimero non è delle migliori e sembra anche che sia stato classificato dalle autorità statunitensi come "materiale strategico" e perciò esportabile solo con procedure lunghe e complesse.

In mancanza dell’HTPB dobbiamo ripiegare su materiali più facilmente reperibili, come polietilene, policarbonato, nylon, PVC, polipropilene ed altri polimeri termoplastici.

Queste considerazioni indicano che con dei mezzi artigianali è difficile ottenere il massimo ISP dal nostro motore perciò possiamo ipotizzare che il valore massimo cui potremo aspirare si aggirerà sui 180 secondi.

Nel nostro motore useremo il POLIPROPILENE per il semplice fatto che possiamo trovare facilmente in commercio delle barre dell’esatta misura che ci serve per il nostro scopo.

Si tratta infatti del materiale usato negli impianti idraulici di tutte le abitazioni, sono quei tubi in plastica di vari colori usati per la distribuzione dell’acqua sanitaria, del diametro esterno di 20 mm con un foro centrale di 13 mm.
In alternativa possiamo anche considerare dei tubi in plexyglass, PVC (usati anche per gli scarichi domestici) ed addirittura tubi di gomma.

Vediamo perciò come dimensionare il nostro motore:

Per prima cosa occorre stabilire l’impulso totale necessario.

Abbiamo visto in una puntata precedente che il peso del nostro razzo (completo di motore e di equipaggiamenti ausiliari) sarà di circa 950 grammi a vuoto e di 1250 grammi carico di propellenti.

L’impulso totale applicabile al nostro vettore può andare dai 200 ai 500 Ns.

Con un modello di calcolo che sarà oggetto di una delle prossime puntate possiamo verificare che disponendo di un impulso totale di 400 Ns possiamo raggiungere un’altezza massima di circa 870 metri, più che adeguata per i nostri scopi.
Possiamo progettare il nostro motore per raggiungere questa quota.

La spinta istantanea del motore deve garantire una determinata accelerazione per permettere al razzo di raggiungere la velocità minima all’uscita della rampa, necessaria alle superfici aerodinamiche per stabilizzare la traiettoria di volo.

Come abbiamo già visto l’accelerazione iniziale non deve essere inferiore ai 4 G, il che significa che la spinta non deve essere inferiore a :

(4G + 1G) * peso totale = 5 * 1,250 Kg = 5 * 12,50 N = 62,5 N

(Il "G" unitario rappresenta l’accelerazione di gravità = 9,81 m/s^2)

Il motore deve perciò garantire una spinta minima di 62,5 N

In realtà l’erogazione della spinta non è costante ma segue una curva caratteristica di ogni motore, ricavata dai test al banco dinamometrico.

Inizialmente la spinta è maggiore della media, nei successivi secondi cala progressivamente, per il motivo che la pressione nel serbatoio dell’ossidante diminuisce, la geometria del grain si modifica ed anche a causa dell’erosione dell’ugello.
L’integrazione matematica di tutte queste spinte istantanee variabili nel tempo ci fornisce il valore della spinta media, che caratterizza il nostro motore.
Per motivi di sicurezza possiamo stabilire una spinta media di 100 N. Se l’impulso totale erogato dal motore è di 400 Ns, il tempo di spinta risultante sarà di :

400 / 100 = 4 secondi

Considerando un ISP (abbastanza reale) di 180 s, per ottenere un impulso totale di 400 Ns abbiamo bisogno di una massa totale di propellenti di :

400 Ns / 180 s = 2,22 N = 224 grammi

Questo valore rappresenta il peso complessivo dell’ossidante più il combustibile, ma a noi serve conoscere per prima cosa la quantità di ossidante necessaria.
Per combinarsi chimicamente (in questo caso BRUCIARE), due sostanze richiedono un esatto rapporto quantitativo, conosciuto come RAPPORTO STECHIOMETRICO.
Ad esempio, nel motore di un’auto la quantità di benzina introdotta nel cilindro dev’essere proporzionale alla quantità d’aria, se questa è poca o troppa il motore non funziona correttamente oppure si ingolfa. Allo stesso modo il combustibile di un motore a razzo richiede un’esatta quantità di ossidante per bruciare perfettamente. Nel caso di un motore ibrido ad azoto protossido il rapporto è approssimativamente di 4 : 1, ovvero 4 parti di ossidante e una di combustibile, in peso.
Se il peso complessivo del propellente è di 2,22 N, lo possiamo suddividere in :

2,22 / 5 * 4 = 1,776 N = ~ 0,1812 Kg (di ossidante)

2,22 / 5 * 1 = 0,444 N = ~ 0,0453 Kg (di combustibile)

Il peso specifico dell’azoto protossido è di 0,77 Kg/litro, perciò il volume del serbatoio dovrà essere di :

0,1812 / 0,77 = 0,235 litri = 235 cc

Per riuscire a riempire quasi completamente il serbatoio è necessario prevedere uno spazio aggiuntivo per i gas che si formano all’interno, dobbiamo perciò sovradimensionare il volume interno.
Dalle sperimentazioni fatte risulta che il 20% in più può andar bene, perciò il nuovo volume dovrà essere:

235cc * 1,2 = 282,2 cc

Nel progetto del nostro vettore avevamo previsto un diametro esterno del motore di 30 mm, i tubi commerciali di alluminio normalmente reperibili hanno uno spessore della parete di 2 mm, perciò il diametro interno sarà di 26 mm. Supponendo che i "tappi" del nostro serbatoio siano piatti, possiamo calcolare che la lunghezza interna del serbatoio dovrà essere di :

L = V / r^2 * Pigreco = 282,2 / 1,3^2 * Pigreco = 531,9 mm

Il flusso di gas ossidante iniettato nella camera di combustione deve rispettare dei precisi parametri, per fare in modo che la curva di spinta rispecchi fedelmente quella desiderata. Per ottenere questo, è necessario calcolare esattamente il diametro dell’iniettore:
La massa di 181 grammi di azoto protossido deve essere consumata in 4 secondi e questo corrisponde ad un flusso di

0,181 / 4 = 0,0453 Kg/s

Il flusso attraverso un ugello iniettore è descritto dalla seguente formula:

Flux = Cf * Ai * RadQuad (2 * Df * DeltaP)

da cui ricaviamo:

Ai = Flux / (Cf * RadQuad (2 * Df * DeltaP))

dove:

Ai = area iniettore in mq
Flux = flusso gas in Kg/s
Cf = coefficiente caratteristico dell’iniettore (tipicamente 0,5)
Df = densità del fluido in Kg/mc (770)
DeltaP = caduta di pressione in Pascal

Il valore DeltaP è la differenza tra la pressione nel serbatoio e quella nella camera di combustione.
La prima dipende dalla temperatura dell’ossidante che a 20 gradi C corrisponde a 652 Psi, la seconda possiamo stabilirla noi a 300 Psi.
(Un Psi esprime un Pound/pollice quadrato, corrispondenti a 0,068947 Bar, a 0,070307 Kg/centimetro quadrato oppure Atmosfere)
Perciò 652 – 300 = 352 psi.
Un Psi corrisponde a ~6894 Pascal, da cui otteniamo che 352 Psi equivalgono a ~2430000 Pascal
Applichiamo i vettori alla formula ed otteniamo:

Ai = 0,0453 / (0,5 * RadQuad ( 2 * 770 * 2430000)) = 0,000001481 mq = 1,481 mmq

L’area dell’iniettore dovrà perciò essere : 1,481 mmq, dalla quale possiamo ricavare il diametro:

Di = RadiceQuad (Ai / Pigreco) * 2 = 1,373 mm

arrotondato per esigenze meccaniche a 1,4 mm

Passiamo ora al dimensionamento della camera di combustione e per prima cosa calcoliamo la sezione del grain :

Sezione = ((20 / 2) ^2 * pigreco) – ((13 / 2)^2 * pigreco) = 181,427 mmq = 1,81427 cmq

Il peso specifico del polipropilene è di 1,7 g centimetro cubo, perciò ogni centimetro di lunghezza del nostro grain peserà :

1,81427 * 1,7 = 3,084 grammi

Abbiamo già ricavato dal rapporto stechiometrico che il combustibile necessario al nostro motore è di 0,0453 Kg, corrispondenti a 45,3 grammi. La lunghezza minima del nostro grain combustibile dovrà perciò essere :

45,3 / 3,084 = 14,69 cm = 146,9 mm

che arrotonderemo a 160 mm per garantire un leggero sovradimensionamento.
E’ indispensabile anche verificare che lo spessore dalla parete del grain sia sufficiente per completare la combustione.
Poichè il cilindro di combustibile si riduce durante la reazione dobbiamo essere certi che ce ne sia a sufficienza.
Il consumo si definisce come RATEO DI REGRESSIONE.
La formula che descrive questo importante parametro è la seguente:

Rr = v * Pfx^n

Dove:
Rr = Rateo di regressione.
v = velocità di combustione in mm/s
n = coefficiente di combustione (esponente adimensionale)
Pfx = Parametro del flusso di ossidante (N/m^2/s)

Pfx è un parametro piuttosto critico che deve essere compreso tra i 2000 e i 6000 N/m^2/s
Se il flusso è troppo debole il funzionamento del motore è instabile mentre se è eccessivo il motore potrebbe spegnersi.
Stabiliamo un valore medio di 4500 e cerchiamo di avvicinarci a tale valore.
Da test sperimentali possiamo assegnare ad "n" un valore 0,6.
La velocità di combustione del polipropilene è di 0,0053 mm/s, perciò la formula per il calcolo del rateo di regressione diventa:

Rr = 0,0053 * (4500^0,6) = 0,824 mm/s

Il tempo di funzionamento previsto per il nostro motore è di almeno 4 secondi, perciò lo spessore del grain combustibile non deve essere inferiore a:

Sg = 0,824 * 4 = 3,30 mm

che arrotondiamo a circa 4 mm, in modo da lasciare un margine di sicurezza nel caso la combustione non avvenisse in modo regolare su tutta la superficie.
I tubi in polipropilene reperibili in commercio hanno un diametro esterno di 20 mm mentre l’interno è di 12 mm.

Lo spessore della parete è perciò di

Sg = (20 – 12) / 2 = 4 mm

Anche se come spessore siamo quasi al limite possiamo definire idonei questi tubi per questa applicazione.

Non ci resta che calcolare le dimensioni dell’ugello di scarico del nostro motore:
La formula che dobbiamo impiegare è la seguente:

S = Cs * Ag * Pc

dove :

Ag = Area della gola dell’ugello (in mq)
S = Spinta (in Newton)
Cs = Coefficiente di spinta (valore sperimentale = 1,4)
Pc = Pressione in camera di combustione (in Pascal)

da cui ricaviamo il dato che ci serve, cioè quello del diametro della gola dell’ugello :

Ag = S / (Cs * Pc)

Inseriamo nella formula i nostri valori ed otteniamo:

Ag = 100 / (1,4 * 2070000) = 0,000034507 mq = 34,507 mmq

L’area della zona di uscita dell’ugello generalmente adottata è quattro volte l’area di gola, perciò:

Au = 34,506 * 4 = 138,026mmq

Da quest’area possiamo facilmente ricavare il diametro della gola dell’ugello:

Dg = 2 * (Radquad ( Ag / pigreco)) = 6,628 mm

e il diametro della zona di uscita:

Du = 2 * (Radquad ( Au / pigreco)) = 13,25 mm

Ci rimane ancora un passo importante, quello di verificare ed eventualmente ricalcolare gli spessori del serbatoio e della camera di combustione, in modo da garantire i necessari margini di sicurezza.
Lo spessore si calcola nel seguente modo:

Sps = Ps * Dis / (2 * Sigma) * Fsi

dove:
Sps = spessore parete serbatoio (in mm)
Ps = Pressione serbatoio (in Bar)
Dis = Diametro interno serbatoio (in mm)
Sigma = Coefficiente di resistenza del materiale ( in Kg/cmq)
Fsi = fattore sicurezza (consigliato => 5)


Ogni materiale possiede uno specifico valore del sigma, ad esempio la lega di alluminio AA6061 - T6 conosciuta commercialmente come ANTICORODAL, ha un sigma di 2957 Kg per cmq.
La pressione di lavoro possiamo stabilirla in 60 bar, inseriamo allora i valori nella formula:

Sps = 60 * 26 / (2 * 2957) * 5 = 1,32 mm

I tubi in alluminio in commercio hanno generalmente uno spessore di 2 mm, che è perciò adeguato al nostro impiego.
A questo punto abbiamo calcolato le dimensioni principali del nostro motore e siamo in grado di passare alla fase successiva, quella di disegnare i componenti ed ingegnerizzare l’assemblaggio.

Seguono un esempio di dimensionamento fatto tramite un foglio di calcolo e alcune foto dei prototipi da me costruiti:

Calcoli per il dimensionamento del Vulcan 1600 Ns

Il motore ibrido Vulcan 1600 Ns

Il motore ibrido Vulcan 6000 Ns

Il motore ibrido Vulcan 12KNs